考试内容与要求

  1 数项级数

(1) 定义   =，  ，

    若存在，则称收敛；否则，称发散.

(2) 性质：

1）若收敛，则 换言之，若，则必发散

2）若，均收敛，则，

3） 若收敛，则加括号后仍收敛；若加括号后发散（或加括号方式不同收敛与不同的数）Þ 发散;

4）去掉或增加或改变前有限项的值，不改变级数的收敛性。

 2 正项级数

     (1) 定义：，其中 

     (2) 判别敛散性的方法

1) 收敛有界；

2) 比较法：《A》，   《B》

        若则《A》收敛《B》收敛（《B》发散《A》发散）；

极限形式：如果，则（i）当时，《A》收敛《B》收敛；（ii）当时，《B》收敛《A》收敛；（iii）当时，《B》发散《A》发散。

3) 比值法与根值法（数1）：若正项级数满足（或），则当<1时，《A》收敛;  当>1时，《A》发散.

3 交错级数莱布尼兹判别法： 若数列单调递减收敛于0，则收敛。 

4 一般项级数

绝对收敛：即收敛， 由正项级数判别法判断之；

条件收敛：即收敛但不收敛，由莱布尼兹判别法和正项级数判别法判断之。  

性质：  绝对收敛的级数一定收敛。

5 函数项级数 ，

1)和函数：=

2)幂级数:， 

(1) 收敛半径，其中  收敛区间，

收敛域：收敛点的集合，它实际上就是收敛区间加上收敛的端点。 

  (2) Abel定理：若已知在x=a点收敛（发散），则

   当 ()时,绝对收敛（发散）。

  (3) 性质：和函数在收敛域内连续，在收敛区间内可逐项求导、逐项积分

  6 函数的幂级数展开

泰勒级数：

麦克劳林级数：

二、 重要公式与结论

    1 重要的比较级数： ,   ，的敛散性

2常见的幂级数展开

3 记  （或），则当时，

4  若f(x)且单调下降，则与同敛散